Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones.
Los diversos conjuntos numéricos se describen a continuación:
1. Los Números Naturales.
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos:
N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un numero natural.
Sin embargo, no siempre pueden restarse ni dividirse (ni 3 - 7 ni 7 : 4 son números naturales).
En otras palabras podemos decir que los números naturales son el conjunto de los números enteros positivos y el cero.
2. Los Números Enteros.
Son los naturales y los correspondientes negativos:
Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3,…, 9, 10, 11,…}
Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales.
Sin embargo, en general, dos números enteros no se pueden dividir. Por eso se pasa a la siguiente estructura numérica.
3. Los Números Racionales.
Son los que se pueden expresar como cociente (o resultado de la división) de dos números enteros. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios.
Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.
4. Los Números Reales.
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, esta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales.
Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales.
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
5. Los Números Imaginarios.
El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = −1 , este no puede ser un valor real, no ya en sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a −1 .
6. Los Números Complejos.
En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los número reales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.
Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.
Actividad de aplicación:
1. En una hoja blanca elabore una recta numérica con números naturales y otra recta con los números enteros. Explique cuáles están contenidos en los otros?
2. Explique en la vida cotidiana para que se utilizan los números Racionales?
3. Explique qué diferencia existe entre los números enteros y los números racionales?
4. Explique con sus propias palabras para que sirven los números imaginarios y los números complejos?
